3.1 Error de Truncamiento 

Los errores por truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. La noción de error de truncamiento se refiere normalmente a los errores que se producen cuando una expresión matemática complicada se “reemplaza” por una fórmula más simple. Esta terminología se originó en la sustitución de una función por uno de sus polinomios de Taylor. 

Por ejemplo, se puede aproximar la derivada de la velocidad de un paracaidista mediante la ecuación de diferencia finita dividida de la forma:

Se introdujo un error de truncamiento en la solución, ya que la ecuación de diferencias solo se aproxima el valor verdadero de la derivada.

Además, para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresará a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma polinomial: las series de Taylor.

3.2 Propagación de Errores

La propagación de errores es un procedimiento por medio del cual, asignamos un error a los resultados obtenidos, tras la aplicación de una fórmula física; es decir aquellas medidas que obtenemos indirectamente, teniendo como entrada datos experimentales, los cuales siempre tienen un nivel de incertidumbre conocido.

Desde la física se trabajan tres tipos de errores:

Incertidumbre: son los ocasionados por la precisión del instrumento de medida.

Sistemáticos: Es el que se genera por defectos en las mediciones, producto de errores en los instrumentos o en el encargado de realizar la medida.

Estadísticos: Este error hace referencia en que tanto difiere una medida de un valor esperado.

La asignación de errores de hace dependiendo del origen de la medida obtenida, si es una medida directa, indirecta o ponderada.


3.3 El Error Estándar 

La variabilidad de las medias muestrales se puede medir por su desviación estándar. Esta medida se conoce como el error estándar y tiende a disminuir cuando aumenta el tamaño de la(s) muestra(s). El término se refiere también a una estimación de la desviación estándar, derivada de una muestra particular usada para computar la estimación.

El error estándar de la media (SEM, en notación en inglés, por standard error of the mean) puede ser expresado como:
               
            
donde:
σ es la desviación estándar de la población
n es el tamaño (número de observaciones) de la muestra.



3.4 Error Numerico Total

El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. En general, el único camino para minimizar los errores de redondeo es incrementado el número de cifras significativas en la computadora. Adicionalmente, hemos notado que el error por redondeo se incrementara tanto por la cancelación por resta como porque en el análisis exista un incremento en el numero de cálculos.

EJEMPLO:

Valor del error por truncamiento = 5,25.
Valor del error por redondeo = 5,25.
Valor número total= 5.25 + 5.25= 10.5 error numérico total.



3.5 Errores por Equivocación, Errores de Formulación o Incertidumbre en los Datos

En los primeros años de la computación, los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadora misma. Hoy en día, esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos. Los errores por equivocación se presentan especialmente al momento del modelado y pueden contribuir con el resto de los generadores de error
Los errores de formulación se deben principalmente al sesgo que implica un modelo matemático incompleto, posiblemente no tomando en cuenta algunos fenómenos que se involucran en el evento modelado
La incertidumbre en los datos se presenta principalmente debido a la incertidumbre en los
datos físicos obtenidos en los que se basa el modelo. Si se utilizan datos físicos, es conveniente realizar un análisis estadístico para obtener el centro de la distribución y el grado de dispersión



3.6 Serie de Taylor

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como  llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto  suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero, es decir, cuando , se le denomina también serie de Maclaurin.

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

o expresado de otra forma

MAMOg





Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.






Referencias: